二分查找

二分查找是一个基础但很重要的知识点，也是一种特殊的分治，为以后许多高级的数据结构与算法铺垫。

下面是一个用二分的简单场景：

假设小明从0到1000之间选择了一个数字但不告诉你，你可以不断猜测这个数，每次猜测小明会告知你的猜测得过大还是过小，问最多几次就一定能猜中？

答案是利用二分查找的原理，猜测11次即可。

在最差的情况下，第11次的答案备选区就一定长度为1了，也就是必然是答案。

因此如果序列是有序的，就可以通过二分查找快速定位所需要的数据。

对于上面那个题目，如果问题区间是1到4000，最差情况下需要猜测几次？这个值可以怎么迅速地算出来，你可以用时间复杂度的公式建立一下并推导一下么？

试试对于下面的题目，用代码实现一下二分查找。

给出一个长度为n的有序数组（从小到大），有q次询问，对于每次询问，输出指定数在数组中的下标。如果不存在则输出-1。

第一行一个整数n。(1<=n<=10^5)

第二行n个用空格分开的整数ai。(0<=ai<=10^8)

第三行一个整数q，表示询问的次数。(1<=q<=10^4)

后q行，每行一个整数b，表示询问的数。(0<=b<=10^8)

q行，每行一个整数，对应每次询问的返回结果

完成代码后，通知Agent进行评测。

如果你还不完全会这个算法，询问Agent获取提示并进行学习。

通过之前的原理和实现，二分查找本质上是通过取中的方式，尽可能排除多（一半）的备选数。
为进一步理解，除了序列，本节我们来尝试一下在矩阵（二维数组）上进行分治和查找。

给出一个n*n的矩阵，其中每一行都是一个从小到大的序列，每一列都是从小到大的序列。从中找到指定的一个数target。

[ [1, 2, 4, 5] [2, 5, 7, 11] [3, 8, 10, 12] [4, 10, 17, 20] ] 从中找到"8"这个数。

这里先介绍线性做法。一维序列的线性做法就是逐个比对一下，二维做法最差是逐个扫描n*n所有的数，可以聪明一些降低到线性成本，称为“楼梯式”查找：

从右上角看一个元素 x = M[r][c]
查找与排除 a. 若 x > target，则这一列里 x 下方都 ≥ x，更不可能是 target，所以安全地左移（排除一整列）。 b. 若 x < target，则这一行里 x 左边都 ≤ x，更不可能是 target，所以安全地下移（排除一整行）。
持续直到排除所有行和列，从而找到目标元素或告知找不到。

做法正确性分析，时间复杂度分析。

接下来试着通过二分的技术，找找复杂度更低的做法。试着回答这些问题，并与AI教师进行讨论：

给出一个 n×n 的矩阵，其中每一行的元素都按照从小到大的顺序排列，每一列的元素也都按照从小到大的顺序排列。现需要判断指定的数 target 是否在该矩阵中，若存在则输出其所在的行下标和列下标（行和列均从 0 开始计数）；若不存在则输出 - 1 -1。

第一行一个整数 n。(1<=n<=10^3) 接下来 n 行，每行 n 个用空格分开的整数，表示矩阵的元素。最后一行一个整数 target，表示需要查找的数。

一行两个整数，分别表示 target 所在的行下标和列下标，中间用空格隔开。若不存在则输出 - 1 -1。

输入：41 2 4 52 5 7 113 8 10 124 10 17 208 输出：2 1