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<!DOCTYPE html>
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<html>
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<head>
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<meta charset="UTF-8">
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<title>Document</title>
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<!-- 你的其他样式 -->
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<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
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<script>
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tex: {
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inlineMath: [['$', '$'], ['\(', '\)']]
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},
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fontCache: 'global'
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}
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};
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</script>
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</head>
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<body>
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<h1>非比较型排序</h1>
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<h2>非比较型排序</h2>
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<h3>基数排序原理</h3>
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<h4>排序算法复杂度背景</h4>
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<p>基于比较的排序算法，理论上无法突破(Ω(n \log n))时间复杂度下界
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特殊场景下，不依赖元素间比较、利用元素结构特征，可实现线性时间排序</p>
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<h4>基数排序核心思想</h4>
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<p>将元素视为由多个 “位”（digit）组成
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按位进行多轮排序，每轮针对一个关键位
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依赖稳定的子排序算法，保证先前排好的顺序不被打乱
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关键保障：<strong>排序的稳定性（相同元素相对顺序不变）</strong></p>
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<h4>经典示例（十进制整数的基数排序）：</h4>
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<p>按最低有效位（LSB）→ 最高有效位（MSB） 逐轮排序
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第一轮：按个位数排序（0-9 分组）
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后续轮次：依次按十位数、百位数等排序</p>
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<h4>实操流程：</h4>
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<p>初始序列：[329, 457, 657, 839, 436]
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第一轮（按个位排序）：
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按个位 0-9 分组 → [436(6), 457(7), 657(7), 329(9), 839(9)]
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（注：457 与 657 个位相同，保持原顺序）
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第二轮（按十位排序）：
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按十位 0-9 分组 → [329(2), 436(3), 839(3), 457(5), 657(5)]
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（注：436 与 839 十位相同，保持第一轮后的顺序）
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第三轮（按百位排序）：
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按百位 0-9 分组 → [329(3), 436(4), 457(4), 657(6), 839(8)]
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（注：436 与 457 百位相同，保持第二轮后的顺序）</p>
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<p>每轮排序通过稳定性保留前序结果，最终实现 “高位决定整体顺序”，完成正确排序。</p>
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<h4>时间复杂度：</h4>
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<p>每轮扫一遍序列O(n)，总共轮数就是基数位数，设为k。
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时间复杂度为O(kn)，其中k一般不太大。</p>
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<h3>基数排序的实现</h3>
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<p>为了加深对基数排序的理解，我们通过一个编程任务来实践其实现。我们将以整数排序为例，并采用从最低有效位开始的方法对数字进行排序（LSD 基数排序）。</p>
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<p>在实现过程中，我们需要编写一个按某个位数进行计数排序的辅助函数，然后在主函数中对每一位循环调用该辅助函数。</p>
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<h4>用计数排序稳定地对基数排序</h4>
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<p>每选定一个基数后，需要用O(n)的时间复杂度将当前序列按照这个基数进行排序；或说<strong>找到按照当前基数下，当前序列的每一个数要前往的位置</strong>
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这里用“计数排序”这个算法。
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具体做法如下：</p>
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<ol>
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<li>建一个新数组count，记录当前基数的每个不同的数有多少个（计数）</li>
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<li>从前往后遍历序列，取出序列每一个元素在当前基数位置上的值，对应计数值+1（count[number]+=1）</li>
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<li>将count转变为前缀和，这样就得到了每一个基数对应的原始数的最后一个，在新序列中的位置</li>
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<li>从后往前遍历原序列，将每一个数（基数上的数为number）放到对应新序列count[number]-1的位置，并让count[number]-=1。</li>
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</ol>
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<h5>练习：按位计数排序</h5>
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<p>作为练习，[170, 45, 75, 90, 802, 24, 2, 66]，按个位排序（exp=1）进行计数排序，请写下count数组的计数结果（2.步后）和前缀和结果。并表述在第4步的利用方式，从而得到序列结果。</p>
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<h4>任务：实现 LSD 基数排序</h4>
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<p>请实现 radix_sort(arr) 函数，对传入的整数列表进行从小到大的排序。你可以假设所有整数为非负且位数相对固定。为了简化问题，我们以十进制为基数（基数=10）实现，并假定输入整数的最大位数为<eq>d</eq>（例如<eq>10^d</eq>数量级）。算法思路如下：</p>
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<p>从最低位（个位，exp=1）开始，对数组进行计数排序（Counting Sort），按该位的数值对元素排序。</p>
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<p>然后依次向更高一位（exp=10，exp=100，...）进行排序，直到处理完最高位。</p>
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<h4>代码框架</h4>
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<p>请在下方代码编辑区完成 counting_sort_by_digit 和 radix_sort 函数的实现。</p>
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<pre><code class="language-python">import random
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import time
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def counting_sort_by_digit(arr, exp):
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"""
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对数组按某个数位进行计数排序（稳定的）。
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参数:
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arr: 要排序的数组
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exp: 位标志，表示当前要按照 (exp位) 上的数值进行排序，
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例如 exp=1 表示按个位排序，exp=10 表示按十位排序。
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返回:
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按指定位排序后的数组副本
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"""
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n = len(arr)
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output = [0] * n # 存放排序结果
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count = [0] * 10 # 计数数组（十进制位范围0-9）
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# TODO: 计算每个数组元素在该位上的值，并计数
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def radix_sort(arr):
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"""
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基数排序（按从低位到高位逐位排序）
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参数:
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arr: 待排序的整数列表
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返回:
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按非递减顺序排序的列表
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"""
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#TODO: 利用 counting_sort_by_digit 按位排序数组
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#测试与性能分析
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def measure(sort_func, data):
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start = time.perf_counter_ns()
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sort_func(data)
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end = time.perf_counter_ns()
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return (end - start) / 10**6 # 转换为毫秒
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#生成随机测试数据
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sizes = [10000, 50000, 100000]
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print("基数排序性能测试:")
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for n in sizes:
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data = [random.randrange(0, 1000000) for _ in range(n)]
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t = measure(radix_sort, data)
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print(f"数据规模 n={n}: 排序耗时 {t:.2f} ms")
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</code></pre>
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<p>性能讨论</p>
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<p>在完成代码并运行测试后，可以看到基数排序在不同规模输入下运行时间增长相对温和。理想情况下，对于固定位数<eq>d</eq>的整数，基数排序的时间复杂度为<eq>O(d \times (n + k))</eq>，其中<eq>k</eq>为每位可能的取值数量（对十进制整数而言<eq>k=10</eq>）。
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<br>
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当<eq>d</eq>视作常数时，复杂度近似<eq>O(n)</eq>，因此输入规模扩大倍数时，运行时间应近似线性增长。
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<br>
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然而需注意，基数排序的实际常数因子不小（多次稳定排序和额外空间），对中等规模数据Python实现未必比C语言内建排序更快。
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<br>
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更重要的是，基数排序并非万能：如果元素位数<eq>d</eq>随<eq>n</eq>增长（例如排序<eq>1</eq>到<eq>N</eq>范围的数，<eq>N</eq>约为<eq>n</eq>量级），则<eq>d = O(\log n)</eq>，此时基数排序复杂度<eq>≈O(n \log n)</eq>，并没有打破比较排序下界。因此，基数排序的线性性能依赖于位数相对较小这一前提。</p>
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<h3>桶排序的原理与实现</h3>
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<h4>桶排序核心定位</h4>
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<p>典型的线性时间排序算法
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利用输入数据的<strong>分布特性（假设大致均匀分布在某范围）</strong></p>
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<h4>桶排序原理与类比</h4>
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<h5>核心逻辑（三步）：</h5>
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<p>第一步：创建若干 “桶”，将元素按值映射到对应桶中（实现粗分类）
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第二步：对每个桶内元素单独排序（可选用任意排序算法）
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第三步：按桶的顺序合并所有元素，得到有序序列
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<br>
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映射：将小数按值投入对应桶，每个桶仅覆盖原始区间 1/10，数据量少
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桶内排序：因元素少，插入排序等简单算法足够快
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合并：按桶序号收集，因 “i<j 时，第 i 号桶元素＜第 j 号桶元素”，天然有序
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<br></p>
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<h5>案例练习</h5>
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<p>使用桶排序算法对以下 8 个数字进行排序
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[35, 12, 48, 27, 5, 39, 18, 42]
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以48为分母，将其他所有数划分到0-0.2-0.4-0.6-0.8-1这5个桶中，输出每个桶里面的数字是什么。
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<br><br></p>
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<h4>代码实现</h4>
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<p>请实现 bucket_sort(arr) 函数，将传入的[0,1)区间的小数数组排序。思路如下：
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<br>
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创建若干个空桶（列表），桶的数量可以根据数据规模n选择，这里取<eq>n/10</eq>（为整数）个桶。
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<br>
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将每个元素按照其值乘以桶数量后的整数部分，映射到对应的桶中。例如值为0.23、桶数为10时，<eq>0.23 \times 10 = 2.3</eq>，放入索引2号桶。
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<br>
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对每个非空桶内部进行排序。你可以直接使用 Python 内置排序（sorted）或实现简单排序算法。</p>
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<p>按桶的顺序依次合并桶内元素，得到排序后的结果。</p>
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<h5>代码框架</h5>
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<pre><code class="language-python">import random
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import time
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def bucket_sort(arr):
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"""
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桶排序（适用于0到1区间的小数）
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参数:
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arr: 介于[0,1)的浮点数列表
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返回:
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升序排序后的列表
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"""
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# TODO: 按原理实现桶排序
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n = len(arr)
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if n == 0:
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return arr
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# 1. 创建桶
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# 2. 分配元素到各桶
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# 3. 桶内排序
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#简单测试与性能评估
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sizes = [1000, 5000, 10000]
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print("桶排序性能测试:")
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for n in sizes:
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#生成n个[0,1)均匀分布的小数
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data = [random.random() for _ in range(n)]
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start = time.perf_counter_ns()
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sorted_data = bucket_sort(data)
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end = time.perf_counter_ns()
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elapsed = (end - start) / 10**6
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#验证排序正确性
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is_correct = "√" if sorted_data == sorted(data) else "×"
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print(f"数据规模 n={n}: 排序耗时 {elapsed:.2f} ms, 排序正确性 {is_correct}")
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</code></pre>
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<h4>桶排序时间复杂度分析</h4>
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<h5>平均情况（理想分布）：</h5>
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<p>前提：n 个元素、m 个桶，数据均匀分布 → 每个桶平均含 n/m 个元素
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优化：选 m 接近 n 的量级 → 桶内排序成本视为常数
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结果：整体期望运行时间为O(n)（线性时间）</p>
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<h5>最坏情况（分布不均）：</h5>
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<p>极端场景：所有元素落入同一个桶
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复杂度：取决于桶内排序算法（O (n log n) 或 O (n²)）+ 分配桶的 O (n)
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结果：退化至O (n log n) 甚至更差，失去线性时间优势
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结论：理想分布下性能出众，数据分布不均时无优势</p>
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<h3>桶排序与哈希</h3>
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<h4>核心相通点：映射分散思想</h4>
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<p>通过函数映射将元素分散到不同 “容器”（桶排序的 “桶”/ 哈希算法的 “哈希桶”），把原问题拆解为小的子问题
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<br>
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桶排序：用映射函数（如 index = int(num * bucket_count)）划分元素所属桶，依据元素值分配
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哈希算法：用哈希函数计算键的哈希桶索引，确定元素存储位置
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这种映射也意味着都对<strong>分布均匀性的依赖</strong></p>
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<h4>关键区别：映射函数的目标差异</h4>
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<p>对比维度
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桶排序的映射函数：一般直接做除法：保留元素大小顺序（按值范围划分）
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哈希算法的哈希函数：随机映射函数，实现元素均匀分布，不能用于排序（除非特殊设计有序哈希）</p>
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<h4>总结</h4>
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<p>桶排序可看作哈希思想在排序问题中的应用：均通过 “先分类、后处理” 的范式优化性能，但因目标不同，映射函数设计存在本质差异。</p>
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</body>
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</html>
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